Explicado paso a paso

Optimización: la lata de 330 cm³ con superficie mínima

Resolvemos optimización: la lata de 330 cm³ con superficie mínima paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo y el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Función a minimizar: la superficie total de la lata.

   $$S=2\pi r^2+2\pi rh$$
2. 2

   Usa la condición del volumen para despejar h y dejar S solo en función de r.

   $$h=\frac{330}{\pi r^2}\Rightarrow S(r)=2\pi r^2+\frac{660}{r}$$
3. 3

   Deriva e iguala a cero.

   $$S^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{660}{r^2}=0\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{330}{2\pi }}\approx 3,74$$
4. 4

   Al sustituir sale h=2r: la lata óptima tiene la altura igual al diámetro.

   $$h=2r$$

Resultado es r ≈ 3,74 cm y h = 2r (altura = diámetro).

◆ Sobre las aplicaciones de la derivada

¿Por qué se deriva así? Optimizar: función a minimizar (superficie), condición (volumen), sustituir, derivar e igualar a 0.

Error típico. Olvidar la condición del volumen para dejar la superficie en una sola variable.

Ver todas las derivadas de aplicaciones →

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

Más derivadas de aplicaciones

$$f(x)=x^2\text{en}x=1$$

$$f(x)=\ln x\text{en}x=e$$

$$y=f(x)\parallel y=mx+b$$

$$\text{normal en }x=a$$

$$f(x)=x^3-3x$$

$$f(x)=x^3$$

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