Explicado paso a paso

Bolzano + Rolle: probar que hay una raíz única

Resolvemos bolzano + rolle: probar que hay una raíz única paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo y el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Bolzano: f cambia de signo en un intervalo, luego hay AL MENOS una raíz.

   $$f(0)=-1<0,f(1)=1>0\Rightarrow \exists \text{raıˊz}$$
2. 2

   Rolle (por reducción al absurdo): si hubiera dos raíces, entre ellas f'(c)=0.

   $$\text{dos raıˊces}\Rightarrow f^{\prime }(c)=0$$
3. 3

   Pero f'(x)=3x²+1>0 nunca se anula: contradicción, así que la raíz es única.

   $$f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$$

Resultado es hay exactamente una raíz.

◆ Sobre los teoremas del cálculo diferencial

¿Por qué se deriva así? Bolzano da que hay al menos una raíz; Rolle (por reducción al absurdo) da que no puede haber dos.

Error típico. Usar solo Bolzano (existencia) sin Rolle (unicidad), o al revés.

Ver todas las derivadas de teoremas →

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

Más derivadas de teoremas

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}x}{x}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{e^x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}x}{x^2}$$

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