Aplicación de la integral, paso a paso

Trabajo para vaciar un depósito cónico

Resolvemos trabajo para vaciar un depósito cónico paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Cada rodaja de agua pesa ρg·dV y hay que subirla una altura distinta.

   $$dW=\rho g(\text{altura})A(y)dy$$
2. 2

   El área de la rodaja A(y) varía con la altura (el depósito es cónico).

   $$A(y)\text{depende de }y$$
3. 3

   Se integra a lo alto del depósito.

   $$W=\rho g\int (\text{altura})A(y)dy$$

Por tanto, el resultado de trabajo para vaciar un depósito cónico es (altura) A(y) dy.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El trabajo de vaciar un depósito suma el de subir cada rodaja de agua, que pesa distinto y sube una altura distinta: por eso es una integral.

Error típico. Tratar toda el agua como si subiera la misma altura. Cada rodaja recorre una distancia diferente.

Más integrales de aplicaciones

$$F=\rho g\int (\text{profundidad})(\text{anchura})dy$$

$$V=\pi {\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2},S=2\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx$$

$$V=2{\pi }^{2}R{r}^2$$

$$V=A\cdot 2\pi R$$

$$\bar{y}=\frac{\int ydA}{\text{aˊrea}}$$

$$\bar{x}=\frac{{\int }_0^{1}x\cdot x^{2}dx}{{\int }_0^1{x}^{2}dx}$$

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