Aplicación de la integral, paso a paso

Volumen del toro por el teorema de Pappus

Resolvemos volumen del toro por el teorema de pappus paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Pappus: el volumen es el área de la figura por la longitud que recorre su centroide.

   $$V=A\cdot 2\pi R$$
2. 2

   Sustituye el área del círculo y el recorrido del centroide.

   $$V=(\pi r^2)(2\pi R)$$
3. 3

   Coincide con el cálculo por capas.

   $$=2{\pi }^{2}R{r}^2$$

Por tanto, el resultado de volumen del toro por el teorema de pappus es 2π² R r².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El teorema de Pappus da el volumen de revolución sin integrar: área de la figura por la circunferencia que describe su centroide.

Error típico. Usar el radio del círculo (r) en lugar de la distancia del centroide al eje (R) en el recorrido.

Más integrales de aplicaciones

$$\bar{y}=\frac{\int ydA}{\text{aˊrea}}$$

$$\bar{x}=\frac{{\int }_0^{1}x\cdot x^{2}dx}{{\int }_0^1{x}^{2}dx}$$

$$S=2\pi {\int }_1^4\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{4x}}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+9x^4}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^h\frac{r}{h}x\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}dx$$

$$S=2\pi {\int }_{-r}^{r}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

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