Aplicación de la integral, paso a paso

La trompeta de Gabriel: y=1/x en [1,∞)

Resolvemos la trompeta de gabriel: y=1/x en [1,∞) paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Calcula el volumen por discos.

   $$V=\pi {\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=\pi \underset{t\to \infty }{\lim }{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^t=\pi$$
2. 2

   El volumen es finito.

   $$V=\pi$$
3. 3

   Calcula la superficie.

   $$S=2\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx$$
4. 4

   Como √(1+1/x⁴)>1, la superficie supera a 2π∫dx/x, que diverge.

   $$S>2\pi {\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}=\infty$$

Por tanto, el resultado de la trompeta de gabriel: y=1/x en [1,∞) es V=π (finito), S=∞ (infinita).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La trompeta de Gabriel tiene volumen finito (π) pero superficie infinita: se puede llenar de pintura pero no pintar por fuera. La paradoja más famosa del cálculo.

Error típico. Suponer que volumen finito implica superficie finita. Aquí el volumen converge y la superficie diverge.

Más integrales de aplicaciones

$$W=\rho g\int (\text{altura})A(y)dy$$

$$F=\rho g\int (\text{profundidad})(\text{anchura})dy$$

$$V=2{\pi }^{2}R{r}^2$$

$$S=2\pi {\int }_1^4\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{4x}}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+9x^4}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^h\frac{r}{h}x\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}dx$$

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