Aplicación de la integral, paso a paso

Centroide de la región bajo y=x² en [0,1]

Resolvemos centroide de la región bajo y=x² en [0,1] paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   La coordenada x del centroide es el cociente de dos integrales.

   $$\bar{x}=\frac{{\int }_0^{1}x\cdot x^{2}dx}{{\int }_0^1{x}^{2}dx}=\frac{1/4}{1/3}$$
2. 2

   La coordenada y usa ½f².

   $$\bar{y}=\frac{\frac{1}{2}{\int }_0^1{x}^{4}dx}{1/3}$$
3. 3

   Resultado.

   $$\left(\frac{3}{4},\frac{3}{10}\right)$$

Por tanto, el resultado de centroide de la región bajo y=x² en [0,1] es 3/4, 3/10.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El centroide de una región plana se calcula con cocientes de integrales (momentos entre área). Da el «punto de equilibrio» de la figura.

Error típico. Olvidar el factor ½ en la coordenada ȳ, que viene de promediar la altura de cada franja.

Más integrales de aplicaciones

$$\bar{y}=\frac{\int ydA}{\text{aˊrea}}$$

$$V=A\cdot 2\pi R$$

$$S=2\pi {\int }_1^4\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{4x}}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+9x^4}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^h\frac{r}{h}x\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}dx$$

$$S=2\pi {\int }_{-r}^{r}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

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