Aplicación de la integral, paso a paso

Volumen del toro

Resolvemos volumen del toro paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Gira el círculo (x−R)²+y²=r² alrededor del eje Y.

   $$(x-R{)}^2+y^2=r^2$$
2. 2

   Se resuelve por capas o por el teorema de Pappus (área × recorrido del centroide).

   $$V=(\pi r^2)(2\pi R)$$
3. 3

   El resultado.

   $$V=2{\pi }^{2}R{r}^2$$

Por tanto, el resultado de volumen del toro es 2π² R r².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El toro se genera girando un círculo alejado del eje. El teorema de Pappus lo resuelve en un renglón: área del círculo por la longitud que recorre su centroide.

Error típico. Confundir R (distancia al eje) con r (radio del círculo): son dos longitudes distintas.

Más integrales de aplicaciones

$$V=\pi {\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2},S=2\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx$$

$$W=\rho g\int (\text{altura})A(y)dy$$

$$F=\rho g\int (\text{profundidad})(\text{anchura})dy$$

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x(x-x^2)dx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x{e}^{-x^2}dx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{\pi }x\mathrm{sen}xdx$$

← Volver a aplicaciones