Aplicación de la integral, paso a paso

Longitud de la catenaria y=cosh x en [0,1]

Resolvemos longitud de la catenaria y=cosh x en [0,1] paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Deriva.

   $$f^{\prime }(x)=\mathrm{senh}x$$
2. 2

   Monta el radicando y usa la identidad hiperbólica.

   $$1+{\mathrm{senh}}^{2}x={\cosh }^{2}x$$
3. 3

   La raíz desaparece.

   $$\sqrt{{\cosh }^{2}x}=\cosh x$$
4. 4

   Integra.

   $$L={\int }_0^1\cosh xdx={\left[\mathrm{senh}x\right]}_0^1$$

Por tanto, el resultado de longitud de la catenaria y=cosh x en [0,1] es senh 1approx 1{,}175.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La catenaria (forma de un cable colgando) es la única función cuya longitud de arco sale redonda: 1+senh²x=cosh²x hace que la raíz desaparezca.

Error típico. No reconocer la identidad hiperbólica 1+senh²x=cosh²x, que es lo que elimina la raíz.

Más integrales de aplicaciones

$$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\mathrm{sen}}^{2}xdx$$

$$V=\pi {\int }_1^3{x}^{-2}dx$$

$$V=\pi {\int }_0^1{e}^{-2x}dx$$

$$V=\pi {\int }_0^{4}xdx$$

$$W={\int }_0^{0,5}kxdx$$

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