Aplicación de la integral, paso a paso

Longitud de arco de y=ln(cos x) en [0,π/4]

Resolvemos longitud de arco de y=ln(cos x) en [0,π/4] paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Deriva.

   $$f^{\prime }(x)=-\mathrm{tg}x$$
2. 2

   Monta el radicando: 1+tg²x=sec²x.

   $$1+{\mathrm{tg}}^{2}x={\sec }^{2}x$$
3. 3

   La raíz se simplifica a la secante.

   $$\sqrt{{\sec }^{2}x}=\sec x$$
4. 4

   Integra la secante.

   $${\left[\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|\right]}_0^{\pi /4}=\ln (1+\sqrt{2})$$

Por tanto, el resultado de longitud de arco de y=ln(cos x) en [0,π/4] es ln(1 + √2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Al derivar ln(cos x) sale −tg x, y 1+tg²x=sec²x convierte el radicando en sec x, cuya primitiva es conocida.

Error típico. No usar 1+tg²x=sec²x, o no recordar ∫sec x dx=ln|sec x+tg x|.

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$$L={\int }_0^4\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx$$

$$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

$$V=2\pi {\int }_1^{e}x\ln xdx$$

$$L={\int }_1^2\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x{e}^{-x^2}dx$$

$$S=2\pi {\int }_{-r}^{r}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

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