Aplicación de la integral, paso a paso

Longitud de arco de y=x^(3/2) en [0,4]

Resolvemos longitud de arco de y=x^(3/2) en [0,4] paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Deriva.

   $$f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{x}^{1/2}$$
2. 2

   Eleva al cuadrado.

   $$[f^{\prime }(x){]}^2=\frac{9}{4}x$$
3. 3

   Monta el radicando de la fórmula L=∫√(1+[f']²)dx.

   $$1+\frac{9}{4}x$$
4. 4

   Plantea la integral.

   $$L={\int }_0^4\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx$$
5. 5

   Cambio u=1+9x/4, límites 1→10.

   $$\frac{4}{9}{\int }_1^{10}\sqrt{u}du$$
6. 6

   Integra.

   $$\frac{4}{9}\cdot \frac{2}{3}{\left[u^{3/2}\right]}_1^{10}=\frac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$$

Por tanto, el resultado de longitud de arco de y=x^(3/2) en [0,4] es 8/27(10√10 − 1)approx 9{,}07.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La longitud de arco usa L=∫√(1+[f'(x)]²)dx: se deriva, se eleva al cuadrado, se monta el radicando y se integra (aquí con un cambio de variable).

Error típico. Olvidar el 1 dentro de la raíz o no cambiar los límites al hacer la sustitución.

Más integrales de aplicaciones

$$V=2\pi {\int }_1^{e}x\ln xdx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x{e}^{-x^2}dx$$

$$L={\int }_0^{\pi /4}\sec xdx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x(x-x^2)dx$$

$$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

$$V=2\pi {\int }_0^{\pi }x\mathrm{sen}xdx$$

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