Aplicación de la integral, paso a paso

Longitud de arco de y=x²/2 − (ln x)/4 en [1,2]

Resolvemos longitud de arco de y=x²/2 − (ln x)/4 en [1,2] paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Deriva y monta el radicando.

   $$f^{\prime }(x)=x-\frac{1}{4x}$$
2. 2

   El radicando resulta ser un cuadrado perfecto.

   $$1+[f^{\prime }(x){]}^2={\left(x+\frac{1}{4x}\right)}^2$$
3. 3

   La raíz se va y queda una integral inmediata.

   $${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{4x}\right)dx$$
4. 4

   Integra.

   $${\left[\frac{x^2}{2}+\frac{\ln x}{4}\right]}_1^2=\frac{3}{2}+\frac{\ln 2}{4}$$

Por tanto, el resultado de longitud de arco de y=x²/2 − (ln x)/4 en [1,2] es 3/2 + (ln 2)/4.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Estas funciones están diseñadas para que 1+[f']² sea un cuadrado perfecto: la raíz desaparece y la longitud sale limpia.

Error típico. No reconocer el cuadrado perfecto dentro de la raíz y quedarse con una integral irracional.

Más integrales de aplicaciones

$$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

$$S=2\pi {\int }_{-r}^{r}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^h\frac{r}{h}x\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}dx$$

$$L={\int }_0^{\pi /4}\sec xdx$$

$$S=2\pi {\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+9x^4}dx$$

$$S=2\pi {\int }_1^4\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{4x}}dx$$

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