Aplicación de la integral, paso a paso

Longitud de la cicloide

Resolvemos longitud de la cicloide paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Paramétricas de la cicloide.

   $$x=t-\mathrm{sen}t,y=1-\cos t$$
2. 2

   Suma de cuadrados de las derivadas.

   $$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=2-2\cos t=4{\mathrm{sen}}^2\frac{t}{2}$$
3. 3

   Integra la raíz.

   $${\int }_0^{2\pi }2\mathrm{sen}\frac{t}{2}dt=8$$

Por tanto, el resultado de longitud de la cicloide es 8.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La longitud paramétrica se simplifica con 2−2cos t=4sen²(t/2), y la raíz da 2sen(t/2). Resultado sorprendente: 8 veces el radio, sin ningún π.

Error típico. No usar la identidad 2−2cos t=4sen²(t/2), que es la que quita la raíz.

Más integrales de aplicaciones

$$L={\int }_1^2\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$L={\int }_0^{\pi /4}\sec xdx$$

$$S=2\pi {\int }_{-r}^{r}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^h\frac{r}{h}x\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}dx$$

$$L={\int }_0^4\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+9x^4}dx$$

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