Aplicación de la integral, paso a paso

Superficie de la esfera por integración

Resolvemos superficie de la esfera por integración paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Gira y=√(r²−x²) usando S=2π∫f·√(1+[f']²)dx.

   $$y=\sqrt{r^2-x^2}$$
2. 2

   Tras simplificar, el producto f·√(1+[f']²) queda constante e igual a r.

   $$f\sqrt{1+f^{\prime 2}}=r$$
3. 3

   Integra.

   $$2\pi {\int }_{-r}^{r}rdx=2\pi r\cdot 2r$$

Por tanto, el resultado de superficie de la esfera por integración es 4π r².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La superficie de revolución usa S=2π∫f√(1+[f']²)dx. Para la esfera el integrando se reduce a la constante r, y sale 4πr².

Error típico. Usar la fórmula del volumen (con f²) en lugar de la de superficie (con f·√(1+f'²)).

Más integrales de aplicaciones

$$L={\int }_1^2\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$S=2\pi {\int }_0^h\frac{r}{h}x\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}dx$$

$$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

$$S=2\pi {\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+9x^4}dx$$

$$S=2\pi {\int }_1^4\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{4x}}dx$$

$$L={\int }_0^{\pi /4}\sec xdx$$

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