Integral resuelta paso a paso

Integral de x²/((x² + 1)(x² + 4))

Resolvemos ∫ x²/((x² + 1)(x² + 4)) dx —la integral de x²/((x² + 1)(x² + 4))— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Solo potencias pares: llama t=x^2 solo para hallar los coeficientes.

   $$\frac{t}{(t+1)(t+4)}=\frac{-1/3}{t+1}+\frac{4/3}{t+4}$$
2. 2

   Deshaz el cambio.

   $$=\frac{-1/3}{x^2+1}+\frac{4/3}{x^2+4}$$
3. 3

   Integra: dos arcotangentes.

   $$=-\frac{1}{3}\arctan x+\frac{2}{3}\arctan \frac{x}{2}+C$$

Por tanto, la integral de x²/((x² + 1)(x² + 4)) es -1/3 arctg x + 2/3 arctanx/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x²/((x² + 1)(x² + 4)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? Dos cuadráticos irreducibles: se descompone con numeradores lineales y sale la diferencia de dos arcotangentes.

Error típico. Poner numeradores constantes sobre los cuadráticos: al ser irreducibles, el numerador es Ax+B.

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{x^2+1}{x^3-x^2+x-1}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^3+x}$$

$$\int \frac{2x^2+x+1}{x^3-x^2}dx$$

$$\int \frac{x^2}{(x-1{)}^3}dx$$

$$\int \frac{dx}{x(x+1{)}^2}$$

$$\int \frac{3x-1}{(x-2{)}^3}dx$$

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