Integral resuelta paso a paso

Integral de x²/(x − 1)³

Resolvemos ∫ x²/(x − 1)³ dx —la integral de x²/(x − 1)³— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Una sola potencia: cambio u=x-1.

   $$x=u+1,x^2=u^2+2u+1$$
2. 2

   Reparte entre u^3.

   $$\int (u^{-1}+2u^{-2}+u^{-3})du$$
3. 3

   El primero da logaritmo. Deshaz el cambio.

   $$=\ln |x-1|-\frac{2}{x-1}-\frac{1}{2(x-1{)}^2}+C$$

Por tanto, la integral de x²/(x − 1)³ es ln|x − 1|-2/(x − 1) − 1/(2(x − 1)²) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x²/(x − 1)³.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? Raíz triple: el cambio u=x−1 reescribe x²=(u+1)² y todo queda en potencias de u.

Error típico. Descomponer a mano cuando el cambio u=x−1 lo hace directo.

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{dx}{x(x+1{)}^2}$$

$$\int \frac{2x^2+x+1}{x^3-x^2}dx$$

$$\int \frac{3x-1}{(x-2{)}^3}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^3+x}$$

$$\int \frac{x+1}{x^2(x-1)}dx$$

$$\int \frac{x^2+1}{x^3-x^2+x-1}dx$$

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