Integral resuelta paso a paso

Integral de (x³ + x + 2)/(x⁴ + 2x² + 1)

Resolvemos ∫ (x³ + x + 2)/(x⁴ + 2x² + 1) dx —la integral de (x³ + x + 2)/(x⁴ + 2x² + 1)— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Cuadrado perfecto abajo.

   $$x^4+2x^2+1=(x^2+1{)}^2$$
2. 2

   Separa el numerador en dos partes.

   $$\frac{x(x^2+1)}{(x^2+1{)}^2}+\frac{2}{(x^2+1{)}^2}$$
3. 3

   La primera es f'/f (salvo 2); la segunda es la de reduccion.

   $$\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+2\int \frac{dx}{(x^2+1{)}^2}$$
4. 4

   Resultado.

   $$=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+\arctan x+\frac{x}{x^2+1}+C$$

Por tanto, la integral de (x³ + x + 2)/(x⁴ + 2x² + 1) es 1/2 ln(x² + 1) + arctg x + x/(x² + 1) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (x³ + x + 2)/(x⁴ + 2x² + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? El denominador es (x²+1)²: cuadrático irreducible repetido, con numeradores lineales sobre (x²+1) y (x²+1)².

Error típico. No ver que x⁴+2x²+1=(x²+1)²: es un cuadrático irreducible al cuadrado.

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{dx}{x^3+8}$$

$$\int \frac{dx}{x^3-1}$$

$$\int \frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$$

$$\int \frac{x^2+1}{x^3-x^2+x-1}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^3+x}$$

$$\int \frac{2x^2+x+1}{x^3-x^2}dx$$

← Volver a fracciones parciales