Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x³ + 8)

Resolvemos ∫ 1/(x³ + 8) dx —la integral de 1/(x³ + 8)— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Suma de cubos.

   $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$
2. 2

   Parciales: A=1/12, B=-1/12, C=1/3.

   $$\frac{1/12}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+4}$$
3. 3

   Completa cuadrados: (x-1)^2+3.

   $$x^2-2x+4=(x-1{)}^2+3$$
4. 4

   Integra.

   $$=\frac{1}{12}\ln |x+2|-\frac{1}{24}\ln (x^2-2x+4)+\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}}+C$$

Por tanto, la integral de 1/(x³ + 8) es 1/12 ln|x + 2|-1/24 ln(x² − 2x + 4) + 1/(4√3) arctg(x − 1)/√3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x³ + 8).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? Suma de cubos: x³+8=(x+2)(x²−2x+4), una raíz real y un cuadrático irreducible.

Error típico. No reconocer la suma de cubos x³+8=(x+2)(x²−2x+4).

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{dx}{x^3-1}$$

$$\int \frac{x^3+x+2}{x^4+2x^2+1}dx$$

$$\int \frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$$

$$\int \frac{x^2+1}{x^3-x^2+x-1}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^3+x}$$

$$\int \frac{2x^2+x+1}{x^3-x^2}dx$$

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