Integral resuelta paso a paso

Integral de tg⁵x·sec⁴x

Resolvemos ∫ tg⁵x·sec⁴x dx —la integral de tg⁵x·sec⁴x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Tangente impar: guarda sec x·tg x.

   $${\mathrm{tg}}^{5}x{\sec }^{4}x={\mathrm{tg}}^{4}x{\sec }^{3}x\cdot (\sec x\mathrm{tg}x)$$
2. 2

   Convierte tg⁴x=(sec²x−1)².

   $$=({\sec }^{2}x-1{)}^2{\sec }^{3}x(\sec x\mathrm{tg}x)$$
3. 3

   Cambio u=sec x.

   $$\int (u^2-1{)}^2{u}^{3}du$$
4. 4

   Desarrolla el cuadrado y multiplica.

   $$(u^4-2u^2+1)u^3=u^7-2u^5+u^3$$
5. 5

   Integra.

   $$=\frac{u^8}{8}-\frac{u^6}{3}+\frac{u^4}{4}$$
6. 6

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{{\sec }^{8}x}{8}-\frac{{\sec }^{6}x}{3}+\frac{{\sec }^{4}x}{4}$$

Por tanto, la integral de tg⁵x·sec⁴x es (sec⁸ x)/8 − (sec⁶ x)/3 + (sec⁴ x)/4 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar tg⁵x·sec⁴x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Tangente impar (5): se guarda sec x·tg x para el du y tg⁴x=(sec²x−1)² pasa a secantes. El sec⁴x restante deja un sec³x dentro del cambio u=sec x.

Error típico. No desarrollar (sec²x−1)² antes de multiplicar por u³: hay que expandir el cuadrado para integrar término a término.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\cot }^{3}x{\csc }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}x{\sec }^{3}xdx$$

$$\int \mathrm{sen}x\mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(3x)dx$$

$$\int \cos (2x)\cos (3x)\cos (4x)dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^2(3x)\cos (6x)dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}x{\cos }^{2}xdx$$

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