Integral resuelta paso a paso

Integral de sen²(3x)·cos(6x)

Resolvemos ∫ sen²(3x)·cos(6x) dx —la integral de sen²(3x)·cos(6x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Hay un cuadrado: bájalo primero.

   $${\mathrm{sen}}^{2}3x=\frac{1-\cos 6x}{2}$$
2. 2

   Multiplica por cos 6x.

   $$\frac{\cos 6x-{\cos }^{2}6x}{2}$$
3. 3

   Ha salido otro cuadrado: bájalo también.

   $${\cos }^{2}6x=\frac{1+\cos 12x}{2}$$
4. 4

   Agrupa.

   $$\frac{\cos 6x}{2}-\frac{1}{4}-\frac{\cos 12x}{4}$$
5. 5

   Integra los tres.

   $$\frac{\mathrm{sen}6x}{12}-\frac{x}{4}-\frac{\mathrm{sen}12x}{48}$$

Por tanto, la integral de sen²(3x)·cos(6x) es (sen 6x)/12 − x/4 − (sen 12x)/48 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen²(3x)·cos(6x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Aquí se combinan dos técnicas: primero se baja el cuadrado sen²3x, y el cos²6x que aparece al multiplicar también es par, así que se vuelve a bajar el ángulo.

Error típico. Tratar sen²3x·cos 6x con Werner directamente. Primero hay que bajar el cuadrado; solo después quedan cosenos sueltos.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \cos (2x)\cos (3x)\cos (4x)dx$$

$$\int \mathrm{sen}x\mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(3x)dx$$

$$\int \frac{dx}{2+\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x+\cos x}$$

$$\int \frac{1-\mathrm{sen}x}{1+\cos x}dx$$

$$\int \frac{dx}{3\mathrm{sen}x-4\cos x+5}$$

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