Integral resuelta paso a paso

Integral de cotg³x·csc³x

Resolvemos ∫ cotg³x·csc³x dx —la integral de cotg³x·csc³x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Es la versión en espejo de tg³x·sec³x. La derivada de la cosecante es −csc x·cot x: igual pero con signo menos.

   $$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$$
2. 2

   Guarda ese bloque.

   $${\cot }^{3}x{\csc }^{3}x={\cot }^{2}x{\csc }^{2}x\cdot (\csc x\cot x)$$
3. 3

   Convierte cot²x con la identidad 1+cot²x=csc²x.

   $$=({\csc }^{2}x-1){\csc }^{2}x(\csc x\cot x)$$
4. 4

   Cambio u=csc x, du=−csc x cot x dx.

   $$-\int (u^2-1)u^{2}du=-\int (u^4-u^2)du$$
5. 5

   Integra.

   $$=-\frac{u^5}{5}+\frac{u^3}{3}$$
6. 6

   Deshaz el cambio.

   $$-\frac{{\csc }^{5}x}{5}+\frac{{\csc }^{3}x}{3}$$

Por tanto, la integral de cotg³x·csc³x es -(csc⁵ x)/5 + (csc³ x)/3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar cotg³x·csc³x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Es el espejo del caso tangente-secante: cotangente impar, así que se guarda csc x·cot x (derivada de la cosecante, con signo menos) y el resto pasa a cosecantes.

Error típico. Olvidar el signo menos del du: la derivada de csc x es −csc x·cot x, no +.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}x{\sec }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{5}x{\sec }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int \mathrm{sen}x\mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(3x)dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{6}xdx$$

$$\int \cos (2x)\cos (3x)\cos (4x)dx$$

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