Integral resuelta paso a paso

Integral de sen x·sen(2x)·sen(3x)

Resolvemos ∫ sen x·sen(2x)·sen(3x) dx —la integral de sen x·sen(2x)·sen(3x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Con tres factores, empieza aplicando Werner a dos cualesquiera.

   $$\mathrm{sen}x\mathrm{sen}2x=\frac{1}{2}[\cos x-\cos 3x]$$
2. 2

   Multiplica por el tercero.

   $$\frac{1}{2}[\cos x\mathrm{sen}3x-\cos 3x\mathrm{sen}3x]$$
3. 3

   Aplica Werner otra vez a cada trozo.

   $$\cos x\mathrm{sen}3x=\frac{1}{2}[\mathrm{sen}4x+\mathrm{sen}2x],\cos 3x\mathrm{sen}3x=\frac{\mathrm{sen}6x}{2}$$
4. 4

   Agrupa.

   $$\frac{1}{4}[\mathrm{sen}4x+\mathrm{sen}2x-\mathrm{sen}6x]$$
5. 5

   Integra los tres.

   $$-\frac{\cos 4x}{16}-\frac{\cos 2x}{8}+\frac{\cos 6x}{24}$$

Por tanto, la integral de sen x·sen(2x)·sen(3x) es -(cos 4x)/16 − (cos 2x)/8 + (cos 6x)/24 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen x·sen(2x)·sen(3x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con tres factores se aplica Werner por etapas: primero conviertes dos en suma, multiplicas por el tercero y vuelves a aplicar Werner a cada producto que quede.

Error típico. Intentar convertir los tres a la vez. Werner es de dos en dos: hay que encadenarlo.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \cos (2x)\cos (3x)\cos (4x)dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^2(3x)\cos (6x)dx$$

$$\int \frac{dx}{2+\cos x}$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{5}x{\sec }^{4}xdx$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x+\cos x}$$

$$\int {\cot }^{3}x{\csc }^{3}xdx$$

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