Integral resuelta paso a paso

Integral de sen³x/cos⁴x

Resolvemos ∫ sen³x/cos⁴x dx —la integral de sen³x/cos⁴x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Seno al cubo: impar. Separa uno.

   $${\mathrm{sen}}^{3}x=(1-{\cos }^{2}x)\mathrm{sen}x$$
2. 2

   Cambio u=cos x, sen x dx=−du.

   $$-\int \frac{1-u^2}{u^4}du$$
3. 3

   Reparte la fracción.

   $$=-\int (u^{-4}-u^{-2})du$$
4. 4

   Integra las dos potencias.

   $$=-\left(\frac{u^{-3}}{-3}-\frac{u^{-1}}{-1}\right)=\frac{1}{3u^3}-\frac{1}{u}$$
5. 5

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{1}{3{\cos }^{3}x}-\frac{1}{\cos x}$$

Por tanto, la integral de sen³x/cos⁴x es 1/(3 cos³ x) − 1/(cos x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen³x/cos⁴x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Aunque haya cosenos en el denominador, el seno tiene exponente impar: separas un sen x (el du) y el resto pasa a cosenos. El cambio u=cos x convierte todo en potencias de u.

Error típico. Repartir mal los signos de los exponentes negativos al integrar u^{−4} y u^{−2}.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{\mathrm{tg}x+\cot x}$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{4}x}$$

$$\int \frac{1+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}x}dx$$

$$\int \mathrm{sen}(3x)\cos (5x)dx$$

$$\int \frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{\sec x}dx$$

$$\int \mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(7x)dx$$

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