Integral resuelta paso a paso

Integral de tg³x·sec³x

Resolvemos ∫ tg³x·sec³x dx —la integral de tg³x·sec³x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   La tangente está a potencia impar, así que guardamos el bloque sec x·tg x (la derivada de la secante).

   $${\mathrm{tg}}^{3}x{\sec }^{3}x$$
2. 2

   Reparte.

   $$={\mathrm{tg}}^{2}x{\sec }^{2}x\cdot (\sec x\mathrm{tg}x)$$
3. 3

   Convierte tg²x a secantes.

   $$=({\sec }^{2}x-1){\sec }^{2}x(\sec x\mathrm{tg}x)$$
4. 4

   Cambio u=sec x, du=sec x tg x dx.

   $$\int (u^2-1)u^{2}du$$
5. 5

   Desarrolla e integra.

   $$\int (u^4-u^2)du=\frac{u^5}{5}-\frac{u^3}{3}$$
6. 6

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{{\sec }^{5}x}{5}-\frac{{\sec }^{3}x}{3}$$

Por tanto, la integral de tg³x·sec³x es (sec⁵ x)/5 − (sec³ x)/3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar tg³x·sec³x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con potencia impar de tangente se guarda sec x·tg x (derivada de la secante) y el resto se pasa a secantes con tg²x=sec²x−1. Cambio u=sec x.

Error típico. Guardar sec²x (como en las potencias pares de secante). Aquí manda la tangente impar: hay que reservar sec x·tg x.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\cot }^{3}x{\csc }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{5}x{\sec }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{6}xdx$$

$$\int \mathrm{sen}x\mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(3x)dx$$

$$\int \cos (2x)\cos (3x)\cos (4x)dx$$

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