Integral resuelta paso a paso

Integral de cos(2x)·cos(3x)·cos(4x)

Resolvemos ∫ cos(2x)·cos(3x)·cos(4x) dx —la integral de cos(2x)·cos(3x)·cos(4x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Elige los dos ángulos más cómodos: 2x y 4x.

   $$\cos 2x\cos 4x=\frac{1}{2}[\cos 2x+\cos 6x]$$
2. 2

   Multiplica por cos 3x.

   $$\frac{1}{2}[\cos 2x\cos 3x+\cos 6x\cos 3x]$$
3. 3

   Werner otra vez en cada uno.

   $$\cos 2x\cos 3x=\frac{1}{2}[\cos x+\cos 5x],\cos 6x\cos 3x=\frac{1}{2}[\cos 3x+\cos 9x]$$
4. 4

   Agrupa: cuatro cosenos con coeficiente 1/4.

   $$\frac{1}{4}[\cos x+\cos 5x+\cos 3x+\cos 9x]$$
5. 5

   Integra los cuatro.

   $$\frac{\mathrm{sen}x}{4}+\frac{\mathrm{sen}5x}{20}+\frac{\mathrm{sen}3x}{12}+\frac{\mathrm{sen}9x}{36}$$

Por tanto, la integral de cos(2x)·cos(3x)·cos(4x) es (sen x)/4 + (sen 5x)/20 + (sen 3x)/12 + (sen 9x)/36 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar cos(2x)·cos(3x)·cos(4x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Tres cosenos de ángulos distintos: se aplica Werner en cadena, eligiendo primero el par de ángulos que dé cuentas más sencillas (2x y 4x).

Error típico. Elegir mal la pareja inicial y complicar los ángulos. Conviene empezar por los que sumen/resten a valores cómodos.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \mathrm{sen}x\mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(3x)dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^2(3x)\cos (6x)dx$$

$$\int \frac{dx}{2+\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x+\cos x}$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{5}x{\sec }^{4}xdx$$

$$\int \frac{1-\mathrm{sen}x}{1+\cos x}dx$$

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