Integral resuelta paso a paso

Integral de sen⁴x·cos²x

Resolvemos ∫ sen⁴x·cos²x dx —la integral de sen⁴x·cos²x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Los dos son pares. Reorganiza para usar el atajo del producto: saca un par sen x cos x.

   $${\mathrm{sen}}^{4}x{\cos }^{2}x=(\mathrm{sen}x\cos x{)}^2{\mathrm{sen}}^{2}x$$
2. 2

   Sustituye sen x cos x = sen 2x/2 y sen²x=(1−cos 2x)/2.

   $$=\frac{{\mathrm{sen}}^{2}2x}{4}\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}$$
3. 3

   Multiplica.

   $$=\frac{{\mathrm{sen}}^{2}2x-{\mathrm{sen}}^{2}2x\cos 2x}{8}$$
4. 4

   El primer trozo es par: baja el ángulo.

   $${\mathrm{sen}}^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$$
5. 5

   El segundo tiene un coseno suelto: cambio u=sen 2x.

   $$\int {\mathrm{sen}}^{2}2x\cos 2xdx=\frac{{\mathrm{sen}}^{3}2x}{6}$$
6. 6

   Junta y divide entre 8.

   $$\frac{x}{16}-\frac{\mathrm{sen}4x}{64}-\frac{{\mathrm{sen}}^{3}2x}{48}$$

Por tanto, la integral de sen⁴x·cos²x es x/16 − (sen 4x)/64 − (sen³ 2x)/48 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen⁴x·cos²x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Los dos son pares, pero sacando (sen x cos x)²=sen²2x/4 reduces el problema: uno de los trozos que quedan es par (se baja) y el otro trae un coseno suelto (cambio directo).

Error típico. Intentar bajar sen⁴x y cos²x por separado: salen muchísimos términos. Agrupar el producto primero acorta mucho.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{sen}}^{6}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{7}x{\cos }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}x{\sec }^{3}xdx$$

$$\int {\cot }^{3}x{\csc }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{5}x{\sec }^{4}xdx$$

$$\int \mathrm{sen}x\mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(3x)dx$$

← Volver a trigonométricas