Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/sen⁴x

Resolvemos ∫ 1/sen⁴x dx —la integral de 1/sen⁴x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Reescribe con cosecantes.

   $$\frac{1}{{\mathrm{sen}}^{4}x}={\csc }^{4}x$$
2. 2

   Potencia par de cosecante: guarda csc²x.

   $${\csc }^{4}x=(1+{\cot }^{2}x){\csc }^{2}x$$
3. 3

   Cambio u=cot x, du=−csc²x dx.

   $$-\int (1+u^2)du$$
4. 4

   Integra.

   $$=-\left(u+\frac{u^3}{3}\right)$$
5. 5

   Deshaz el cambio.

   $$-\cot x-\frac{{\cot }^{3}x}{3}$$

Por tanto, la integral de 1/sen⁴x es - cotg x − (cotg³ x)/3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/sen⁴x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? 1/sen⁴x es csc⁴x. Con potencia par de cosecante se guarda un csc²x (el du, con signo menos) y el resto, csc²x=1+cot²x, pasa a cotangentes.

Error típico. Olvidar el signo menos: la derivada de cot x es −csc²x, así que el cambio arrastra un menos.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{\sec x}dx$$

$$\int \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\cos }^{4}x}dx$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{tg}x+\cot x}$$

$$\int {\sec }^{4}xdx$$

$$\int \frac{1+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}x}dx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{4}xdx$$

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