Integral resuelta paso a paso

Integral de sen⁶x

Resolvemos ∫ sen⁶x dx —la integral de sen⁶x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Exponente 6: par. Escríbelo como cubo del cuadrado.

   $${\mathrm{sen}}^{6}x={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^3$$
2. 2

   Desarrolla el cubo.

   $$=\frac{1-3\cos 2x+3{\cos }^{2}2x-{\cos }^{3}2x}{8}$$
3. 3

   Trata cada trozo según su exponente: cos²2x es par → baja el ángulo; cos³2x es impar → separa un factor con u=sen 2x.

   $${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$$
4. 4

   Integra el trozo par.

   $$3\cdot \frac{1+\cos 4x}{2}\Rightarrow \frac{3x}{2}+\frac{3\mathrm{sen}4x}{8}$$
5. 5

   Integra el trozo impar con el cambio.

   $$\int {\cos }^{3}2xdx=\frac{1}{2}\left(\mathrm{sen}2x-\frac{{\mathrm{sen}}^{3}2x}{3}\right)$$
6. 6

   Junta todo y divide entre 8.

   $$\frac{5x}{16}-\frac{\mathrm{sen}2x}{4}+\frac{3\mathrm{sen}4x}{64}+\frac{{\mathrm{sen}}^{3}2x}{48}$$

Por tanto, la integral de sen⁶x es 5x/16 − (sen 2x)/4 + (3 sen 4x)/64 + (sen³ 2x)/48 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen⁶x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Exponente 6 (par): se escribe como (sen²x)³ y se baja el ángulo. Lo importante es que el árbol de decisión se aplica trozo a trozo: el cos²2x que sale es par (se baja) y el cos³2x es impar (se separa).

Error típico. Aplicar una sola técnica a toda la expresión. Cada término del desarrollo tiene su propio exponente y hay que clasificarlo por separado.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{7}x{\cos }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}x{\sec }^{3}xdx$$

$$\int {\cot }^{3}x{\csc }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{5}x{\sec }^{4}xdx$$

$$\int \mathrm{sen}x\mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(3x)dx$$

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