Integral resuelta paso a paso

Integral de sec⁴x

Resolvemos ∫ sec⁴x dx —la integral de sec⁴x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Guarda un sec²x para el du (es la derivada de la tangente).

   $${\sec }^{4}x={\sec }^{2}x\cdot {\sec }^{2}x$$
2. 2

   Convierte el otro con la identidad.

   $${\sec }^{2}x=1+{\mathrm{tg}}^{2}x\Rightarrow {\sec }^{4}x=(1+{\mathrm{tg}}^{2}x){\sec }^{2}x$$
3. 3

   Cambio u=tg x, du=sec²x dx.

   $$\int (1+u^2)du$$
4. 4

   Integra.

   $$=u+\frac{u^3}{3}$$
5. 5

   Deshaz el cambio.

   $$\mathrm{tg}x+\frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{3}$$

Por tanto, la integral de sec⁴x es tg x + (tg³ x)/3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sec⁴x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con potencia par de secante se guarda un sec²x (el du) y el resto, sec²x=1+tg²x, se pasa a tangentes. Cambio u=tg x y queda un polinomio.

Error típico. No reservar el sec²x para el du: si conviertes todas las secantes a tangentes no queda la derivada que necesita el cambio.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{tg}}^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}xdx$$

$$\int \frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{\sec x}dx$$

$$\int \sqrt{1-\cos 2x}dx$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{4}x}$$

$$\int {\cos }^{5}xdx$$

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