Integral resuelta paso a paso

Integral de tg³x/sec x

Resolvemos ∫ tg³x/sec x dx —la integral de tg³x/sec x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Cuando la mezcla es rara, pasa todo a senos y cosenos.

   $$\frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{\sec x}=\frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\cos }^{3}x}\cdot \cos x=\frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\cos }^{2}x}$$
2. 2

   Ahora es un caso conocido: seno impar.

   $${\mathrm{sen}}^{3}x=(1-{\cos }^{2}x)\mathrm{sen}x$$
3. 3

   Cambio u=cos x, sen x dx=−du.

   $$-\int \frac{1-u^2}{u^2}du$$
4. 4

   Reparte la fracción.

   $$=-\int (u^{-2}-1)du$$
5. 5

   Integra.

   $$=\frac{1}{u}+u$$
6. 6

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{1}{\cos x}+\cos x=\sec x+\cos x$$

Por tanto, la integral de tg³x/sec x es sec x + cos x + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar tg³x/sec x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Cuando no ves el patrón con secantes y tangentes, pasa a senos y cosenos: casi siempre se destapa un caso de potencia impar (aquí sen³x/cos²x).

Error típico. Empeñarse en usar identidades de secante/tangente. Reescribir en senos y cosenos deja ver el seno impar y el cambio inmediato.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\sec }^{4}xdx$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{4}x}$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}xdx$$

$$\int \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\cos }^{4}x}dx$$

$$\int \sqrt{1-\cos 2x}dx$$

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