Integral resuelta paso a paso

Integral de tg³x

Resolvemos ∫ tg³x dx —la integral de tg³x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Separa una tangente al cuadrado.

   $${\mathrm{tg}}^{3}x=\mathrm{tg}x\cdot {\mathrm{tg}}^{2}x$$
2. 2

   Convierte tg²x con la identidad 1+tg²x=sec²x.

   $$=\mathrm{tg}x{\sec }^{2}x-\mathrm{tg}x$$
3. 3

   Separa en dos integrales.

   $$\int \mathrm{tg}x{\sec }^{2}xdx-\int \mathrm{tg}xdx$$
4. 4

   La primera: cambio u=tg x, du=sec²x dx.

   $$\int udu=\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{2}$$
5. 5

   La segunda es una primitiva conocida.

   $$\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|$$
6. 6

   Resta.

   $$\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{2}+\ln |\cos x|$$

Por tanto, la integral de tg³x es (tg² x)/2 + ln| cos x|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar tg³x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con potencias de tangente se separa una tg²x y se convierte con tg²x=sec²x−1: una parte se vuelve tg x·sec²x (cambio u=tg x) y la otra es la tangente sola.

Error típico. Intentar el cambio u=tg x de golpe sin sacar antes la tg²x: no aparece el sec²x que hace de du.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \sqrt{1-\cos 2x}dx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{4}xdx$$

$$\int {\sec }^{4}xdx$$

$$\int {\cos }^{5}xdx$$

$$\int \frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{\sec x}dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}xdx$$

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