Integral resuelta paso a paso

Integral de tg⁴x

Resolvemos ∫ tg⁴x dx —la integral de tg⁴x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Separa tg²x.

   $${\mathrm{tg}}^{4}x={\mathrm{tg}}^{2}x\cdot {\mathrm{tg}}^{2}x={\mathrm{tg}}^{2}x({\sec }^{2}x-1)$$
2. 2

   Reparte.

   $$={\mathrm{tg}}^{2}x{\sec }^{2}x-{\mathrm{tg}}^{2}x$$
3. 3

   La primera: cambio u=tg x.

   $$\int u^{2}du=\frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{3}$$
4. 4

   La segunda vuelve a necesitar la identidad.

   $$\int {\mathrm{tg}}^{2}xdx=\int ({\sec }^{2}x-1)dx=\mathrm{tg}x-x$$
5. 5

   Resta.

   $$\frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{3}-\mathrm{tg}x+x$$

Por tanto, la integral de tg⁴x es (tg³ x)/3 − tg x + x + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar tg⁴x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con potencias pares de tangente se va bajando de dos en dos usando tg²x=sec²x−1, hasta llegar a ∫sec²x dx o a ∫dx.

Error típico. Olvidar que ∫tg²x dx no es directo: hay que reescribir tg²x=sec²x−1 para poder integrar.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}xdx$$

$$\int {\sec }^{4}xdx$$

$$\int \sqrt{1-\cos 2x}dx$$

$$\int \frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{\sec x}dx$$

$$\int {\cos }^{5}xdx$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{4}x}$$

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