Integral resuelta paso a paso

Integral de √(1 − cos 2x)

Resolvemos ∫ √(1 − cos 2x) dx —la integral de √(1 − cos 2x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   No integres la raíz: mira qué hay dentro. La fórmula del ángulo doble leída al revés.

   $$1-\cos 2x=2{\mathrm{sen}}^{2}x$$
2. 2

   Saca la raíz.

   $$\sqrt{2{\mathrm{sen}}^{2}x}=\sqrt{2}|\mathrm{sen}x|$$
3. 3

   Atención: la raíz de un cuadrado es el valor absoluto, no la función a secas.

   $$\sqrt{{\mathrm{sen}}^{2}x}=|\mathrm{sen}x|$$
4. 4

   Fija un intervalo donde el seno no cambie de signo. En [0,π] es sen x≥0.

   $$|\mathrm{sen}x|=\mathrm{sen}x\text{en }[0,\pi ]$$
5. 5

   Integra.

   $$\sqrt{2}\int \mathrm{sen}xdx=-\sqrt{2}\cos x$$

Por tanto, la integral de √(1 − cos 2x) es -√2 cos x + C en [0,π]. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(1 − cos 2x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? La clave no es integrar la raíz sino reconocer la identidad 1−cos 2x=2sen²x. Así la raíz se vuelve √2·|sen x| y el problema pasa a ser inmediato.

Error típico. Quitar la raíz como √(sen²x)=sen x sin el valor absoluto. Si el intervalo cruza un múltiplo de π, hay que partir la integral y cambiar el signo en cada tramo.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}xdx$$

$$\int {\cos }^{5}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{4}xdx$$

$$\int {\sec }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int \frac{{\mathrm{tg}}^{3}x}{\sec x}dx$$

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