Integral resuelta paso a paso

Integral de sen⁷x·cos⁴x

Resolvemos ∫ sen⁷x·cos⁴x dx —la integral de sen⁷x·cos⁴x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Seno al 7 (impar), coseno al 4 (par). Se separa del seno.

   $${\mathrm{sen}}^{7}x{\cos }^{4}x$$
2. 2

   Separa un seno.

   $${\mathrm{sen}}^{7}x=({\mathrm{sen}}^{2}x{)}^3\mathrm{sen}x$$
3. 3

   Convierte a cosenos.

   $$=(1-{\cos }^{2}x{)}^3\mathrm{sen}x$$
4. 4

   Cambio u=cos x, sen x dx=−du.

   $$-\int (1-u^2{)}^3{u}^{4}du$$
5. 5

   Desarrolla el cubo.

   $$(1-u^2{)}^3=1-3u^2+3u^4-u^6$$
6. 6

   Multiplica por u⁴.

   $$=u^4-3u^6+3u^8-u^{10}$$
7. 7

   Integra con el signo menos delante y deshaz el cambio.

   $$-\left(\frac{u^5}{5}-\frac{3u^7}{7}+\frac{u^9}{3}-\frac{u^{11}}{11}\right)$$

Por tanto, la integral de sen⁷x·cos⁴x es -(cos⁵ x)/5 + (3 cos⁷ x)/7 − (cos⁹ x)/3 + (cos¹¹x)/11 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen⁷x·cos⁴x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El seno está a la 7 (impar): separas un sen x para el du y el resto, sen⁶x=(1−cos²x)³, pasa a cosenos. El coseno al 4 (par) se queda tal cual dentro del cambio u=cos x.

Error típico. Atascarse en el paso del cubo: hay que desarrollar (1−u²)³=1−3u²+3u⁴−u⁶ y luego multiplicar por el u⁴, no integrar el bloque sin desarrollar.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{sen}}^{6}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}x{\sec }^{3}xdx$$

$$\int {\cot }^{3}x{\csc }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{5}x{\sec }^{4}xdx$$

$$\int \mathrm{sen}x\mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(3x)dx$$

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