Integral resuelta paso a paso

Integral de cos³x/√(sen x)

Resolvemos ∫ cos³x/√(sen x) dx —la integral de cos³x/√(sen x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Reescribe para ver los exponentes: coseno al 3 (impar).

   $$\frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\mathrm{sen}x}}={\cos }^{3}x(\mathrm{sen}x{)}^{-1/2}$$
2. 2

   Separa un coseno y conviértelo a senos.

   $${\cos }^{3}x=(1-{\mathrm{sen}}^{2}x)\cos x$$
3. 3

   Cambio u=sen x, du=cos x dx.

   $$\int \frac{1-u^2}{\sqrt{u}}du$$
4. 4

   Reparte la fracción en dos potencias.

   $$=\int (u^{-1/2}-u^{3/2})du$$
5. 5

   Integra cada potencia.

   $$=2u^{1/2}-\frac{2}{5}{u}^{5/2}$$
6. 6

   Deshaz el cambio.

   $$2\sqrt{\mathrm{sen}x}-\frac{2}{5}{\mathrm{sen}}^{5/2}x$$

Por tanto, la integral de cos³x/√(sen x) es 2√(sen x) − 2/5 sen^(5/2)x + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar cos³x/√(sen x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Aunque hay una raíz, el coseno sigue teniendo exponente impar: separas un cos x (el du) y el resto pasa a senos. El cambio u=sen x convierte todo en potencias de u.

Error típico. Asustarse por la raíz e intentar racionalizar. La raíz es solo (sen x)^{−1/2}: se reparte junto al resto en potencias de u.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{5}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}xdx$$

$$\int {\cos }^{4}xdx$$

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