Integral resuelta paso a paso

Integral de cos²x

Resolvemos ∫ cos²x dx —la integral de cos²x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Exponente par: no se puede separar. Si separas un coseno te queda otro coseno suelto y no avanzas. Hay que bajar el ángulo.

   $${\cos }^{2}x$$
2. 2

   Aplica la fórmula del ángulo doble.

   $${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$
3. 3

   Reparte la integral.

   $$\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \cos 2xdx$$
4. 4

   La primera es inmediata.

   $$\frac{1}{2}\int dx=\frac{x}{2}$$
5. 5

   La segunda tiene ángulo 2x: hay que dividir por 2 al integrar.

   $$\frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{sen}2x}{2}=\frac{\mathrm{sen}2x}{4}$$
6. 6

   Suma.

   $$\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{sen}2x}{4}$$

Por tanto, la integral de cos²x es x/2 + (sen 2x)/4 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar cos²x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El coseno está al cuadrado (par). Con exponente par no se puede separar un factor útil, así que se baja el ángulo con cos²x=(1+cos 2x)/2, que convierte el cuadrado en algo lineal de integrar.

Error típico. Olvidar dividir entre 2 al integrar cos 2x. Es el fallo más repetido del bloque: la primitiva de cos 2x es sen 2x/2, no sen 2x.

Teoría: Trigonométricas →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

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$$\int {\mathrm{sen}}^2(2x)dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}xdx$$

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$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}xdx$$

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