Integral resuelta paso a paso

Integral de sen³(x) cos²(x)

Resolvemos ∫ sen³(x) cos²(x) dx —la integral de sen³(x) cos²(x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Como el seno tiene exponente impar, le "robamos" uno para el diferencial.

   $$\int {\sin }^2(x){\cos }^2(x)\sin (x)dx$$
2. 2

   Convertimos los senos pares en cosenos.

   $$\int (1-{\cos }^2(x)){\cos }^2(x)\sin (x)dx$$
3. 3

   Aplicamos sustitución: u = cos(x), por lo que du = -sen(x) dx.

   $$\int (1-u^2)u^2(-du)=\int (u^4-u^2)du$$
4. 4

   Integramos y deshacemos el cambio.

   $$=\frac{u^5}{5}-\frac{u^3}{3}=\frac{{\cos }^5(x)}{5}-\frac{{\cos }^3(x)}{3}+C$$

Por tanto, la integral de sen³(x) cos²(x) es (cos⁵(x))/5 − (cos³(x))/3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen³(x) cos²(x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El seno tiene exponente impar (3): se separa un seno (el du) y el resto pasa a cosenos; cambio u=cos x.

Error típico. Separar del coseno (par) en vez del seno (impar).

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{1}{1+\tan (x)}dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{7}x{\cos }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{6}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}x{\sec }^{3}xdx$$

$$\int {\cot }^{3}x{\csc }^{3}xdx$$

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