Integral resuelta paso a paso

Integral de sen³x

Resolvemos ∫ sen³x dx —la integral de sen³x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Mira los exponentes: el seno está elevado a 3, que es impar. Ese es el aviso de que hay que separar un factor.

   $${\mathrm{sen}}^{3}x$$
2. 2

   Separa un seno del resto.

   $${\mathrm{sen}}^{3}x={\mathrm{sen}}^{2}x\cdot \mathrm{sen}x$$
3. 3

   Convierte lo que queda a cosenos con la identidad pitagórica: así dejas un solo seno suelto que será el du.

   $$=(1-{\cos }^{2}x)\mathrm{sen}x$$
4. 4

   Haz el cambio de variable.

   $$u=\cos x,\mathrm{sen}xdx=-du$$
5. 5

   Sustituye: el seno suelto desaparece dentro del du.

   $$-\int (1-u^2)du$$
6. 6

   Integra el polinomio.

   $$-\left(u-\frac{u^3}{3}\right)=-u+\frac{u^3}{3}$$
7. 7

   Deshaz el cambio.

   $$-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}$$

Por tanto, la integral de sen³x es - cos x + (cos³ x)/3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen³x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Aquí el seno está elevado a 3, que es impar. Por eso se separa un factor: dejas un sen x suelto que hace de du, y el resto (sen²x) se convierte a cosenos con sen²x=1−cos²x sin que sobre nada.

Error típico. Intentar bajar el ángulo con sen²x=(1−cos 2x)/2. Funciona, pero te deja un sen x multiplicando y acabas igual. Con exponente impar, separar siempre es más corto.

Teoría: Trigonométricas →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{sen}}^{5}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\mathrm{sen}x}}dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}xdx$$

$$\int {\cos }^{4}xdx$$

← Volver a trigonométricas