Integral resuelta paso a paso

Integral de cos³(x)

Resolvemos ∫ cos³(x) dx —la integral de cos³(x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Al tener una potencia impar, separamos un cos(x) para formar el diferencial.

   $$\int {\cos }^2(x)\cos (x)dx$$
2. 2

   Convertimos la parte par a senos usando la identidad pitagórica.

   $$\int (1-{\sin }^2(x))\cos (x)dx$$
3. 3

   Aplicamos sustitución: u = sen(x), por lo que du = cos(x) dx.

   $$\int (1-u^2)du=u-\frac{u^3}{3}+C$$
4. 4

   Deshacemos el cambio de variable.

   $$=\sin (x)-\frac{{\sin }^3(x)}{3}+C$$

Por tanto, la integral de cos³(x) es sen(x) − (sen³(x))/3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar cos³(x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El coseno está al cubo (impar): se separa un coseno (que hace de du) y el resto pasa a senos con cos²x=1−sen²x.

Error típico. Intentar bajar el ángulo con exponente impar: separar un factor es más corto.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\sin }^2(x)dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{5}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\mathrm{sen}x}}dx$$

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