Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(1 + tg(x))

Resolvemos ∫ 1/(1 + tg(x)) dx —la integral de 1/(1 + tg(x))— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Convertimos la tangente a senos y cosenos.

   $$\int \frac{1}{1+\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}dx=\int \frac{\cos (x)}{\cos (x)+\sin (x)}dx$$
2. 2

   Multiplicamos y dividimos por 2 para usar un artificio: sumamos y restamos sen(x).

   $$\frac{1}{2}\int \frac{(\cos (x)+\sin (x))+(\cos (x)-\sin (x))}{\cos (x)+\sin (x)}dx$$
3. 3

   Separamos en dos integrales mucho más sencillas.

   $$\frac{1}{2}\int 1dx+\frac{1}{2}\int \frac{\cos (x)-\sin (x)}{\cos (x)+\sin (x)}dx$$
4. 4

   La segunda tiene al numerador como derivada del denominador.

   $$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln |\cos (x)+\sin (x)|+C$$

Por tanto, la integral de 1/(1 + tg(x)) es x/2 + 1/2 ln| cos(x) + sen(x)| + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(1 + tg(x)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El cociente 1/(1+tg x) se simplifica pasando a senos y cosenos: cos x/(sen x+cos x); se integra escribiendo el numerador en función del denominador y su derivada.

Error típico. Ir directo a Weierstrass en vez de simplificar 1+tg x pasando a senos y cosenos.

Teoría: Trigonométricas →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\sin }^3(x){\cos }^2(x)dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{7}x{\cos }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{6}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}x{\sec }^{3}xdx$$

$$\int {\cot }^{3}x{\csc }^{3}xdx$$

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