Integral resuelta paso a paso

Integral de (1 − sen x)/(1 + cos x)

Resolvemos ∫ (1 − sen x)/(1 + cos x) dx —la integral de (1 − sen x)/(1 + cos x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Transforma el denominador con el ángulo mitad.

   $$1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}$$
2. 2

   Y el seno del numerador.

   $$\mathrm{sen}x=2\mathrm{sen}\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$$
3. 3

   Sustituye y reparte.

   $$\frac{1-2\mathrm{sen}\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}{\sec }^2\frac{x}{2}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}$$
4. 4

   Integra la primera (interior x/2, hay que multiplicar por 2).

   $$\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$$
5. 5

   Integra la segunda.

   $$-\int \mathrm{tg}\frac{x}{2}dx=2\ln \left|\cos \frac{x}{2}\right|$$

Por tanto, la integral de (1 − sen x)/(1 + cos x) es tgx/2 + 2 ln| cosx/2|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (1 − sen x)/(1 + cos x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Las fórmulas del ángulo mitad (1+cos x=2cos²(x/2), sen x=2sen(x/2)cos(x/2)) convierten el cociente en sec²(x/2) y tg(x/2), ambos inmediatos.

Error típico. Olvidar el factor 2 al integrar funciones de x/2: la primitiva de ½sec²(x/2) es tg(x/2), no ½tg(x/2).

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x+\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{3\mathrm{sen}x-4\cos x+5}$$

$$\int \frac{dx}{5+4\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{2+\cos x}$$

$$\int \frac{\cos xdx}{{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x-2}$$

$$\int {\mathrm{sen}}^2(3x)\cos (6x)dx$$

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