Integral de 1/(3sen x − 4cos x + 5)

\int \frac{d x}{3 sen x - 4 cos x + 5}

Resolvemos ∫ 1/(3sen x − 4cos x + 5) dx —la integral de 1/(3sen x − 4cos x + 5)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

✎ Solución paso a paso

1

Con seno, coseno y constante mezclados, Weierstrass es la vía.

$t = tg \frac{x}{2}$
2

Sustituye los tres términos.

$3 \cdot \frac{2 t}{1 + t ^{2}} - 4 \cdot \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} + 5$
3

Común denominador.

$= \frac{9 t ^{2} + 6 t + 1}{1 + t ^{2}}$
4

El numerador es un cuadrado perfecto.

$9 t^{2} + 6 t + 1 = (3 t + 1)^{2}$
5

Monta la integral con el dx.

$\int \frac{1 + t ^{2}}{( 3 t + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{2 d t}{1 + t ^{2}} = \int \frac{2 d t}{( 3 t + 1 ) ^{2}}$
6

Es una potencia con interior lineal.

$= - \frac{2}{3 ( 3 t + 1 )}$

Resultado

- \frac{2}{3 ( 3 tg \frac{x}{2} + 1 )} + C

Por tanto, la integral de 1/(3sen x − 4cos x + 5) es -2/(3(3 tgx/2 + 1)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(3sen x − 4cos x + 5).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Weierstrass convierte el denominador en (3t+1)²/(1+t²); al sustituir el dx se cancela el (1+t²) y queda una potencia con interior lineal, inmediata.

Error típico. No ver que 9t²+6t+1 es (3t+1)²: reconocer el cuadrado perfecto evita tener que hacer fracciones parciales.

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