Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(2 + cos x)

Resolvemos ∫ 1/(2 + cos x) dx —la integral de 1/(2 + cos x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Aquí el conjugado no ayuda: toca el cambio universal de Weierstrass.

   $$t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$$
2. 2

   Sustituye el coseno.

   $$2+\cos x=2+\frac{1-t^2}{1+t^2}$$
3. 3

   Pon común denominador.

   $$=\frac{3+t^2}{1+t^2}$$
4. 4

   Sustituye también el dx: los (1+t²) se cancelan (eso es lo que hace que Weierstrass funcione).

   $$\int \frac{1+t^2}{3+t^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{2dt}{3+t^2}$$
5. 5

   Es un arcotangente con a=√3.

   $$\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{t}{\sqrt{3}}$$
6. 6

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{\mathrm{tg}(x/2)}{\sqrt{3}}\right)$$

Por tanto, la integral de 1/(2 + cos x) es 2/√3 arctg((tg(x/2))/√3) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(2 + cos x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con seno y coseno mezclados y sin conjugado útil, el cambio de Weierstrass t=tg(x/2) convierte el cociente en una función racional de t que se integra por arcotangente.

Error típico. Olvidar sustituir el dx por 2dt/(1+t²): sin él no se cancelan los (1+t²) y la integral no se simplifica.

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Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x+\cos x}$$

$$\int {\mathrm{sen}}^2(3x)\cos (6x)dx$$

$$\int \frac{1-\mathrm{sen}x}{1+\cos x}dx$$

$$\int \frac{dx}{3\mathrm{sen}x-4\cos x+5}$$

$$\int \cos (2x)\cos (3x)\cos (4x)dx$$

$$\int \frac{dx}{5+4\cos x}$$

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