Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(sen x + cos x)

Resolvemos ∫ 1/(sen x + cos x) dx —la integral de 1/(sen x + cos x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Junta el seno y el coseno en uno solo: a sen x + b cos x = R sen(x+φ) con R=√(a²+b²).

   $$a=b=1\Rightarrow R=\sqrt{2},\phi =\frac{\pi }{4}$$
2. 2

   Escribe el denominador como un solo seno.

   $$\mathrm{sen}x+\cos x=\sqrt{2}\mathrm{sen}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$
3. 3

   La integral se convierte en una cosecante.

   $$\frac{1}{\sqrt{2}}\int \csc \left(x+\frac{\pi }{4}\right)dx$$
4. 4

   Aplica el resultado de ∫csc u du.

   $$\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left|\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{8}\right)\right|$$

Por tanto, la integral de 1/(sen x + cos x) es 1/√2 ln| tg(x/2 + π/8)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(sen x + cos x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El ángulo auxiliar junta sen x+cos x en un único √2·sen(x+π/4), y la integral se reduce a la de la cosecante ya conocida.

Error típico. Lanzarse a Weierstrass. Reconocer sen x+cos x=√2 sen(x+π/4) es mucho más corto.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{1-\mathrm{sen}x}{1+\cos x}dx$$

$$\int \frac{dx}{2+\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{3\mathrm{sen}x-4\cos x+5}$$

$$\int \frac{dx}{5+4\cos x}$$

$$\int {\mathrm{sen}}^2(3x)\cos (6x)dx$$

$$\int \frac{\cos xdx}{{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x-2}$$

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