Integral definida resuelta paso a paso

Integral de Putnam (1997): ln(1 + x)/(1 + x²) entre 0 y 1

Resolvemos integral de putnam (1997): ln(1 + x)/(1 + x²) entre 0 y 1 paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Cambio x=tg θ.

   $$x=\mathrm{tg}\theta$$
2. 2

   Aplica el truco del rey (θ→π/4−θ): la integral se cierra sobre sí misma.

   $$2I=\frac{\pi }{4}\ln 2$$
3. 3

   Despeja I.

   $$I=\frac{\pi \ln 2}{8}$$

Por tanto, el resultado de integral de putnam (1997): ln(1 + x)/(1 + x²) entre 0 y 1 es (π ln 2)/8.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La integral de Putnam 1997: el cambio x=tg θ más el truco del rey convierten una integral aparentemente intratable en un valor cerrado.

Error típico. Buscar una primitiva elemental. La clave es la simetría θ→π/4−θ, no integrar directamente.

Más integrales de integral definida

$${\int }_0^1\frac{\arctan x}{x}dx$$

$$\frac{d}{dx}{\int }_{\mathrm{sen}x}^{\cos x}\ln (1+t^2)dt$$

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\mathrm{tg}x)dx$$

$${\int }_0^{\pi }\frac{x\mathrm{sen}x}{1+{\cos }^{2}x}dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\mathrm{sen}}^{3}x+{\cos }^{3}x}dx$$

$${\int }_{-1}^1\frac{x^2}{1+e^x}dx$$

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