Integral definida resuelta paso a paso

Integral definida de x²/(1 + eˣ) por el truco del rey

Resolvemos integral definida de x²/(1 + eˣ) por el truco del rey paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   La función no es par ni impar: la simetría directa no sirve.

   $$\frac{x^2}{1+e^x}$$
2. 2

   Aplica la propiedad ∫₋ₐᵃf(x)=∫₋ₐᵃf(−x).

   $$I={\int }_{-1}^1\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx$$
3. 3

   Suma las dos expresiones de I.

   $$2I={\int }_{-1}^1{x}^2\left(\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}\right)dx$$
4. 4

   Simplifica el paréntesis: aquí está la magia.

   $$\frac{1}{1+e^x}+\frac{e^x}{1+e^x}=1$$
5. 5

   La integral se vuelve trivial.

   $$2I={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}$$

Por tanto, el resultado de integral definida de x²/(1 + eˣ) por el truco del rey es 1/3.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El «truco del rey»: usar I=∫f(−x) y sumar. El paréntesis se simplifica a 1 y la integral se vuelve inmediata. Es de las más shorteables del catálogo.

Error típico. Intentar integrar x²/(1+eˣ) directamente: no tiene primitiva elemental. El truco del rey lo esquiva.

Más integrales de integral definida

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\mathrm{sen}}^{3}x+{\cos }^{3}x}dx$$

$${\int }_0^{\pi }\frac{x\mathrm{sen}x}{1+{\cos }^{2}x}dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\mathrm{tg}x)dx$$

$$\frac{d}{dx}{\int }_{\mathrm{sen}x}^{\cos x}\ln (1+t^2)dt$$

$${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$$

$${\int }_0^1\frac{\arctan x}{x}dx$$

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