Integral definida resuelta paso a paso

Integral definida de sen³x/(sen³x + cos³x) (truco del rey)

Resolvemos integral definida de sen³x/(sen³x + cos³x) (truco del rey) paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Aplica el truco del rey con x→π/2−x: el seno se vuelve coseno.

   $$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\cos }^{3}x}{{\cos }^{3}x+{\mathrm{sen}}^{3}x}dx$$
2. 2

   Suma las dos expresiones de I: el integrando total es 1.

   $$2I={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}$$
3. 3

   Despeja I.

   $$I=\frac{\pi }{4}$$

Por tanto, el resultado de integral definida de sen³x/(sen³x + cos³x) (truco del rey) es π/4.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El truco del rey con x→π/2−x intercambia seno y coseno; al sumar, numerador y denominador coinciden y el integrando vale 1.

Error típico. Intentar integrar el cociente tal cual: no tiene primitiva elemental. La simetría lo resuelve.

Más integrales de integral definida

$${\int }_{-1}^1\frac{x^2}{1+e^x}dx$$

$${\int }_0^{\pi }\frac{x\mathrm{sen}x}{1+{\cos }^{2}x}dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\mathrm{tg}x)dx$$

$$\frac{d}{dx}{\int }_{\mathrm{sen}x}^{\cos x}\ln (1+t^2)dt$$

$${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$$

$${\int }_0^1\frac{\arctan x}{x}dx$$

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