Integral definida resuelta paso a paso

Integral definida de x·sen x/(1 + cos²x) (truco del rey)

Resolvemos integral definida de x·sen x/(1 + cos²x) (truco del rey) paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Truco del rey con x→π−x.

   $$2I=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{\mathrm{sen}x}{1+{\cos }^{2}x}dx$$
2. 2

   Cambio u=cos x: la integral da π/2.

   $${\int }_0^{\pi }\frac{\mathrm{sen}x}{1+{\cos }^{2}x}dx=\frac{\pi }{2}$$
3. 3

   Despeja I.

   $$2I=\pi \cdot \frac{\pi }{2}\Rightarrow I=\frac{{\pi }^2}{4}$$

Por tanto, el resultado de integral definida de x·sen x/(1 + cos²x) (truco del rey) es π²/4.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El truco del rey con x→π−x elimina la x del numerador y deja una integral resoluble con u=cos x.

Error típico. No aplicar la sustitución x→π−x: sin ella la x del numerador bloquea la integral.

Más integrales de integral definida

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\mathrm{sen}}^{3}x+{\cos }^{3}x}dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\mathrm{tg}x)dx$$

$${\int }_{-1}^1\frac{x^2}{1+e^x}dx$$

$$\frac{d}{dx}{\int }_{\mathrm{sen}x}^{\cos x}\ln (1+t^2)dt$$

$${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$$

$${\int }_0^1\frac{\arctan x}{x}dx$$

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