Integral resuelta paso a paso

Integral de cos⁵x

Resolvemos ∫ cos⁵x dx —la integral de cos⁵x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Exponente 5: impar. Separa un coseno.

   $${\cos }^{5}x=({\cos }^{2}x{)}^2\cos x=(1-{\mathrm{sen}}^{2}x{)}^2\cos x$$
2. 2

   Cambio u=sen x, du=cos x dx.

   $$\int (1-u^2{)}^{2}du$$
3. 3

   Desarrolla.

   $$=\int (1-2u^2+u^4)du$$
4. 4

   Integra.

   $$=u-\frac{2u^3}{3}+\frac{u^5}{5}$$
5. 5

   Deshaz el cambio.

   $$\mathrm{sen}x-\frac{2{\mathrm{sen}}^{3}x}{3}+\frac{{\mathrm{sen}}^{5}x}{5}$$

Por tanto, la integral de cos⁵x es sen x − (2 sen³ x)/3 + (sen⁵ x)/5 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar cos⁵x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El coseno está a la 5 (impar): separas un cos x para el du y el resto, cos⁴x=(1−sen²x)², pasa a senos. Cambio u=sen x y queda un polinomio.

Error típico. Intentar bajar el ángulo: con exponente impar es más largo. Separar un coseno es el camino directo.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \sqrt{1-\cos 2x}dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{3}xdx$$

$$\int {\cos }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{tg}}^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}xdx$$

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