Integral resuelta paso a paso

Integral de sen²x·cos²x

Resolvemos ∫ sen²x·cos²x dx —la integral de sen²x·cos²x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Los dos son pares. Podrías bajar cada uno, pero hay un atajo mucho mejor: agrupa el producto.

   $${\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}x=(\mathrm{sen}x\cos x{)}^2$$
2. 2

   Usa sen x cos x = sen 2x / 2.

   $$={\left(\frac{\mathrm{sen}2x}{2}\right)}^2=\frac{{\mathrm{sen}}^{2}2x}{4}$$
3. 3

   Ahora baja el ángulo de sen²2x.

   $${\mathrm{sen}}^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$$
4. 4

   Sustituye.

   $$\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1-\cos 4x}{8}$$
5. 5

   Integra.

   $$\frac{x}{8}-\frac{1}{8}\cdot \frac{\mathrm{sen}4x}{4}$$

Por tanto, la integral de sen²x·cos²x es x/8 − (sen 4x)/32 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen²x·cos²x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Los dos son pares, pero en vez de bajar cada cuadrado por separado (cuatro términos) usas sen x cos x = sen 2x/2: agrupas el producto y solo queda un cuadrado que bajar. Es el ejemplo de mirar antes de calcular.

Error típico. Bajar sen²x y cos²x por separado y multiplicar: sale correcto pero con cuatro términos y mucho que simplificar. El atajo del ángulo doble son tres líneas.

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Más integrales de trigonométricas

$$\int {\cos }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}xdx$$

$$\int {\cos }^{5}xdx$$

$$\int \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\mathrm{sen}x}}dx$$

$$\int \sqrt{1-\cos 2x}dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}x{\cos }^{3}xdx$$

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