Integral resuelta paso a paso

Integral de cos⁴x

Resolvemos ∫ cos⁴x dx —la integral de cos⁴x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Exponente par: baja el ángulo, escribiendo cos⁴x como cuadrado.

   $${\cos }^{4}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2$$
2. 2

   Desarrolla.

   $$=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$$
3. 3

   Vuelve a bajar el cuadrado que queda.

   $${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$$
4. 4

   Agrupa.

   $$=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$$
5. 5

   Integra los tres términos.

   $$\frac{3x}{8}+\frac{\mathrm{sen}2x}{4}+\frac{\mathrm{sen}4x}{32}$$

Por tanto, la integral de cos⁴x es 3x/8 + (sen 2x)/4 + (sen 4x)/32 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar cos⁴x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El coseno está a la 4 (par): se baja el ángulo dos veces, igual que con sen⁴x. De hecho es su gemela: solo cambian los signos de los términos con seno.

Error típico. Confundir los signos con los de sen⁴x. En cos⁴x los términos con seno van con signo +, en sen⁴x con −.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\mathrm{sen}x}}dx$$

$$\int {\cos }^{5}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx$$

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